PM3-U2-RA-2.1

Unidad 2. Aplicación del pensamiento variacional.   

Propósito de la unidad. Aplica el pensamiento variacional, desarrollando y resolviendo situaciones y fenómenos para la optimización de procesos.

Resultado de aprendizaje 2.1. 

Desarrolla el concepto central del cálculo diferencial “derivada” por medio de la definición formal y el uso de reglas.

Progresión 7.

Interpreta, a partir de integrar diferentes perspectivas y métodos, el concepto central del cálculo diferencial, “la derivada”, de forma intuitiva e intenta dar una definición formal, así como la búsqueda heurística para encontrar la derivada de la función constante, lineal y algunas funciones polinomiales. (C1M2, C2M2) 

Categoría:

  • Procedural
  • Procesos de intuición y razonamiento

Subcategoría:

  • Manejo de datos e incertidumbre
  • Pensamiento intuitivo  

Metas de aprendizaje:  

  • Analiza los resultados obtenidos al aplicar procedimientos algorítmicos propios del pensamiento matemático en la resolución de problemáticas teóricas y de su contexto.
  • Desarrolla la percepción y la intuición para generar conjeturas ante situaciones que requieran explicación o interpretación.

Ejercicios de Derivadas Total de puntos: 100

1. Encuentra la derivada de la función f(x) = 5x^3 (10 puntos)

2. Encuentra la derivada de la función f(x) = 7 (5 puntos)

3. Calcula la derivada de f(x) = 4x^2 - 3x (10 puntos)

4. Encuentra la derivada de la función identidad f(x) = x  (5 puntos)

5. Calcula la derivada de  f(x) = 6x^4 + 2x^3 - x (15 puntos)

6. Calcula la derivada de  f(x) = 2x^5 - 8x^2 + 7 (15 puntos)

7. Encuentra la derivada de f(x) = -3x^4 + x^2 - 4 (10 puntos)

8. Calcula la derivada de la función constante  f(x) = -9  (5 puntos)

9. Calcula la derivada de f(x) = 10x^3 + 6x - 12  (15 puntos)

10. Encuentra la derivada de la función f(x) = 3x^7 - 2x^3 + 5x  (10 puntos)

 

Evaluación Progresión 7

Reglas básicas para derivar polinomios:

1.       Regla de la constante: La derivada de una constante (un número) es 0.

o    Ejemplo: Si f(x) = 5, entonces f'(x) = 0.

2.       Regla de la identidad: La derivada de x es 1.

o    Ejemplo: Si f(x) = x, entonces f'(x) = 1.

3.       Regla de la potencia: La derivada de x^n es nx^(n-1).

o    Ejemplo: Si f(x) = x^3, entonces f'(x) = 3x^2.

4.       Regla de la suma y la resta: La derivada de una suma o resta de funciones es la suma o resta de las derivadas de cada función.

o    Ejemplo: Si f(x) = 3x^2 + 2x - 1, entonces f'(x) = 6x + 2.

Con estas reglas, podemos resolver cualquier derivada de un polinomio.

Aquí tienes 10 ejercicios, cada uno tiene un valor de 10 puntos.

Incluir la regla de derivación aplicada y obtener la primera derivada.

  1. f(x) = 3x^2
  2. g(x) = 5x - 2
  3. h(x) = x^4 + 2x^3
  4. y = 7x^5
  5. f(x) = -2x^3 + 4x
  6. g(x) = x^2 - 3x + 1
  7. h(x) = 10
  8. y = x + √2
  9. f(x) = 1/x^2
  10. g(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1

Progresión 8

Encuentra de manera heurística algunas reglas de derivación como la regla de la suma, la regla del producto, la regla del cociente y la regla de la cadena y las aplica en algunos ejemplos. (C2M3, C3M4)

Categoría:

Subcategoría:

·         Procesos de intuición y razonamiento

·         Solución de problemas y modelación

·         Pensamiento intuitivo

·         Estrategias heurísticas y ejecución de procedimientos no rutinarios

Metas de aprendizaje

·         Compara hechos, opiniones o afirmaciones para organizarlos en formas lógicas útiles en la solución de problemas y explicación de situaciones y fenómenos.

·         Construye y plantea posibles soluciones a problemas de áreas de conocimiento, recursos sociocognitivos, recursos socioemocionales y de su entorno, empleando técnicas y lenguaje matemático.

 Aprendizajes por trayectoria: 

·         Valora la aplicación de procedimientos automáticos y algorítmicos, así como la interpretación de sus resultados para anticipar, encontrar y validar soluciones a problemas matemáticos, de áreas del conocimiento y de su vida personal.

·         Adopta procesos de razonamiento matemático tanto intuitivos como formales tales como observar, intuir, conjeturar y argumentar, para relacionar información y obtener conclusiones de problemas (matemáticos, de las ciencias naturales, experimentales y tecnología, sociales, humanidades y de la vida cotidiana.)

Temática a abordar

·         Derivada de una suma de funciones

·         Derivada del producto de dos funciones

·         Derivada del cociente de dos funciones

·         Regla de la cadena

·         Demostración

Introducción.

Resuelve las siguientes derivadas.

 

Una vez obtenido el resultado, resuelve lo siguiente y responde los cuestionamientos que se te piden.

Derivadas por la regla del cociente

La regla del cociente es una técnica para encontrar la derivada de una función que es el cociente de dos funciones diferenciables. Si f(x)=u(x)/v(x), donde u(x) y v(x) son funciones de x, la derivada de f(x) con respecto a x se calcula como:

Paso a Paso:

1.       Deriva el numerador u(x) y obtén u′(x).

2.       Deriva el denominador v(x) y obtén v′(x).

3.       Sustituye en la fórmula: f′(x)=(v⋅u′−u⋅v′)/(v)^2​.

4.       Simplifica si es necesario.

Ejemplo

Si tenemos una función f(x)=(x^2+1)/(x+3)​:

    Numerador u(x)=x^2+1, su derivada es u′(x)=2x.

    Denominador v(x)=x+3, su derivada es v′(x)=1.

Aplicando la regla del cociente:

Evaluación de Derivadas: Regla del Cociente

Ejemplos de la Regla del Cociente

Ejemplo 1

Función: f(x) = (x^2 + 1)/(x + 3)

  1. Numerador: u(x) = x^2 + 1, entonces u'(x) = 2x.
  2. Denominador: v(x) = x + 3, entonces  v'(x) = 1.
  3. Aplicando la regla del cociente:

    f'(x) = ((x + 3)(2x) - (x^2 + 1)(1) = (2x^2 + 6x - x^2 - 1)/(x + 3)^2} = x^2 + 6x - 1}{(x + 3)^2} \]

Ejemplo 2

Función: f(x) = (x + 5)/(x^2 - 2)

  1. Numerador: \( u(x) = x + 5 \), entonces \( u'(x) = 1 \).
  2. Denominador: \( v(x) = x^2 - 2 \), entonces \( v'(x) = 2x \).
  3. Aplicando la regla del cociente:

    \[ f'(x) = \frac{(x^2 - 2)(1) - (x + 5)(2x)}{(x^2 - 2)^2} = \frac{x^2 - 2 - 2x^2 - 10x}{(x^2 - 2)^2} = \frac{-x^2 - 10x - 2}{(x^2 - 2)^2} \]

Ejemplo 3

Función: \( f(x) = \frac{3x - 4}{2x + 1} \)

  1. Numerador: \( u(x) = 3x - 4 \), entonces \( u'(x) = 3 \).
  2. Denominador: \( v(x) = 2x + 1 \), entonces \( v'(x) = 2 \).
  3. Aplicando la regla del cociente:

    \[ f'(x) = \frac{(2x + 1)(3) - (3x - 4)(2)}{(2x + 1)^2} = \frac{6x + 3 - 6x + 8}{(2x + 1)^2} = \frac{11}{(2x + 1)^2} \]

Ejercicios de Evaluación

  1. Encuentra la derivada de \( f(x) = \frac{5x + 3}{x - 2} \) usando la regla del cociente.
  2. Calcula la derivada de \( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 4} \) aplicando la regla del cociente.
  3. Deriva \( f(x) = \frac{2x + 1}{x^2 + 3x} \) utilizando la regla del cociente.
  4. Obtén la derivada de \( f(x) = \frac{3x^2 - x}{2x + 5} \) aplicando la regla del cociente.
  5. Encuentra la derivada de \( f(x) = \frac{x^3 + x}{x^2 + 1} \) usando la regla del cociente.

f′(x)=((x+3)(2x)−(x2+1)(1))/(x+3)^2


Progresión 8: Videos de apoyo

Video 8.0 Derivada de una suma o diferencia | Reglas de derivación
Video 8.1 Regla de la derivada de una suma
Video 8.2 REGLA DEL PRODUCTO / DERIVADA DE FUNCIONES
Video 8.3 Derivada de un cociente | Reglas de derivación
Video 8.4 Derivadas Regla de la cadena | Función compuesta | Ejemplo 1
Video 8.5 Derivada de funciones con la regla de la cadena (ejemplo 2)


 




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